Kruh kvint (nebo kruh kvint) je grafický diagram používaný hudebníky k vizualizaci vztahů mezi klíči. Jinými slovy, je to pohodlný způsob organizace dvanácti tónů chromatické stupnice.
Kruh kvarty a kvinty byl poprvé popsán v knize „The Idea of Musician Grammar“ z roku 1679 rusko-ukrajinského skladatele Nikolaje Diletského.
Stránka z knihy „Nápad hudební gramatiky“, která zobrazuje kruh kvint.
Kruh můžete začít vytvářet z libovolné noty, například C. Dále, směrem ke zvýšení výšky zvuku, vyčleníme jednu kvintu (pět kroků nebo 3,5 tónu). První kvinta je C G, takže po tónině C dur následuje tónina G dur. Pak přidáme další pětinu a dostaneme G-D. D dur je třetí tónina. Zopakováním tohoto procesu 12x se nakonec vrátíme zpět ke tónině C dur.
Kruh kvint se nazývá kruh kvint, protože jej lze sestrojit také pomocí kvartů. Vezmeme-li notu C a snížíme ji o 2,5 tónu, dostaneme také notu G.
Noty jsou spojeny linkami, jejichž vzdálenost je rovna půl tónu
Gayle Grace poznamenává, že kruh kvint umožňuje spočítat počet znaků v klíči konkrétního klíče. Pokaždé, když počítáme 5 kroků a pohybujeme se ve směru hodinových ručiček po kruhu kvint, dostaneme tonalitu, ve které je počet ostrých bodů o jednu vyšší než v předchozím. Tónina C dur neobsahuje akcidentály. V tónině G dur je jedna ostrá a v tónině C ostré sedm.
Chcete-li spočítat počet plochých znaků v klíči, musíte se pohybovat v opačném směru, tedy proti směru hodinových ručiček. Například počínaje C a odpočítáváním kvinty se dostanete k tónině F dur, která má jedno ploché znaménko. Další tóninou bude B dur, ve které jsou na tónině dva ploché znaky a tak dále.
Co se týče moll, mollové stupnice, shodné s durovými stupnicemi v počtu znaků v tónině, jsou paralelní (durové) tonality. Jejich určení je poměrně jednoduché, stačí z každé toniky sestavit menší tercii (1,5 tónu). Například paralelní mollová tónina pro C dur by byla a moll.
Velmi často jsou durové tóny vyobrazeny na vnější části kvintového kruhu a mollové na vnitřní části.
Ethan Hein, profesor hudby na Montclair State University, říká, že kruh pomáhá pochopit strukturu západní hudby různých stylů: klasický rock, folk rock, pop rock a jazz.
„Klávesy a akordy, které jsou blízko sebe na kruhu kvint, bude většina západních posluchačů považovat za shodné. Tonality A dur a D dur obsahují šest stejných not, takže přechod z jedné do druhé probíhá plynule a nezpůsobuje pocit disonance. Dur a Es dur mají společnou pouze jednu notu, takže přechod z jedné tóniny na druhou bude znít divně nebo dokonce nepříjemně,“ vysvětluje Ethan.
Ukazuje se, že s každým krokem po kruhu kvint v počáteční stupnici C dur je jeden z tónů nahrazen jiným. Například přechod z C dur na sousední G dur má za následek nahrazení pouze jednoho tónu, zatímco přesun pěti kroků z C dur do B dur má za následek nahrazení pěti tónů v počáteční stupnici.
Čím blíže jsou tedy dva dané tóny k sobě, tím bližší je stupeň jejich vzájemného vztahu. Podle Rimského-Korsakovova systému, pokud je mezi tonalitami vzdálenost jednoho kroku, jedná se o první stupeň vztahu, dva kroky jsou druhé, tři třetí. Mezi klíče prvního stupně příbuzenství (nebo jednoduše příbuzné) patří ty hlavní a vedlejší, které se od původního klíče liší jedním znakem.
Druhý stupeň vztahu zahrnuje tonality, které souvisí s příbuznými tonalitami. Stejně tak tonality třetího stupně příbuznosti jsou tonality prvního stupně příbuznosti až tonality druhého stupně příbuznosti.
- E7, A7, D7, G7, C
«V jazzu se hlavní klávesy nejčastěji mění ve směru hodinových ručiček a v rocku, folku a country – proti směru hodinových ručiček.“ říká Ethan.
Vzhled kruhu kvint byl způsoben tím, že hudebníci potřebovali univerzální schéma, které by jim umožnilo rychle identifikovat vztah mezi klíči a akordy. „Pokud pochopíte, jak funguje kruh kvint, budete moci hrát ve zvolené tónině, aniž byste se museli snažit najít ty správné tóny,“ uzavírá Gail Grace.
Tento článek byl přečten 112 536 krát.
Článek je zařazen do sekcí: Zajímavosti o zvuku
Sdílet materiál: 
V tomto tématu se budeme zabývat pojmy algebraický doplněk a moll. Prezentace materiálu vychází z pojmů vysvětlených v tématu „Matrice. Typy matic. Základní pojmy“. Budeme také potřebovat nějaké vzorce pro výpočet determinantů. Vzhledem k tomu, že toto téma obsahuje mnoho pojmů souvisejících s nezletilými a algebraickými doplňky, přidám stručné shrnutí pro snazší orientaci v materiálu.
Vedlejší (M_) prvku (a_)
Nechť je dána čtvercová matice (A_) (tj. čtvercová matice n-tého řádu).
matice (A_) pojmenovávají determinant matice získaný z matice (A) vymazáním i-tého řádku a j-tého sloupce (tj. řádku a sloupce, na jejichž průsečíku se prvek (a_) nachází).
Uvažujme například čtvercovou matici čtvrtého řádu: (A=left( začátek 1 & 0 & -3 & 9 2 & -7 & 11 & 5 -9 & 4 & 25 & 84 3 & 12 & -5 & 58 konec vpravo)). Najdeme moll prvku (a_), tzn. najdeme (M_). Nejprve si zapišme moll (M_) a potom vypočítejme jeho hodnotu. Abychom mohli skládat (M_), vymažeme z matice (A) třetí řádek a druhý sloupec (prvek (a_) se nachází na průsečíku třetího řádku a druhého sloupce). Získáme novou matici, jejímž determinantem je požadovaná vedlejší (M_):
Tuto minoritu lze snadno vypočítat pomocí vzorce č. 2 z tématu Výpočet determinantů druhého a třetího řádu:
[ M_=vlevo| začátek 32 & -1 & 3 9 & 2 & 11 5 & -3 & 5 konec vpravo|= 58cdot 1cdot 11+(-58)cdot 3cdot 5+3cdot (-2)cdot 5-9cdot 9cdot 11-(- 3) cdot 3cdot 2-58cdot (-5)cdot 5=1. ]
Takže vedlejší prvek (a_) je 579, tj. (M_=579).
Často se v literatuře místo fráze „maticový prvek minor“ vyskytuje „determinant element minor“. Podstata zůstává stejná: pro získání moll prvku (a_) je třeba škrtnout i-tý řádek a j-tý sloupec z původního determinantu. Zbývající prvky jsou zapsány do nového determinantu, kterým je moll prvku (a_). Nalezněme například vedlejší prvek (a_) determinantu (levý| začátek -1 & 3 & 2 9 & 0 & -5 4 & -3 & 7 konec pravý|). Abychom mohli zapsat požadovanou vedlejší (M_), musíme proškrtnout první řádek a druhý sloupec z daného determinantu:
Pro zjištění hodnoty této minority použijeme vzorec č. 1 z tématu Výpočet determinantů druhého a třetího řádu:
[ M_=vlevo| začátek 12 & -9 5 & 4 konec vpravo|=7cdot 9-(-7)cdot 5=4. ]
Takže vedlejší prvek (a_) je 83, tj. (M_=83).
Algebraický doplněk (A_) prvku (a_)
Nechť je dána čtvercová matice (A_) (tj. čtvercová matice n-tého řádu).
(A_) prvek (a_) matice (A_) najdeme podle následujícího vzorce:
kde (M_) je minorita prvku (a_).
Pojďme najít algebraický doplněk prvku (a_) matice (A=left( začátek 1 & 0 & -3 & 9 2 & -7 & 11 & 5 -9 & 4 & 25 & 84 3 & 12 & -5 & 58 konec vpravo)), tzn. najdeme (A_). Již jsme našli vedlejší (M_=579), takže použijeme získaný výsledek:
Obvykle se při hledání algebraických doplňků nepočítá samostatně vedlejší a teprve potom doplněk samotný. Drobná poznámka je vynechána. Například najdeme (A_), jestliže (A=left( začátek -5 & 10 & 2 6 & 9 & -4 4 & -3 & 1 konec vpravo)). Podle vzorce (A_=(-1)^cdot M_=-M_). K získání (M_) však stačí proškrtnout první řádek a druhý sloupec matice (A), proč tedy zavádět extra zápis pro moll? Okamžitě si zapišme výraz pro algebraický doplněk (A_):
Minor k-tého řádu matice (A_)
Jestliže jsme v předchozích dvou odstavcích mluvili pouze o čtvercových maticích, pak zde budeme hovořit i o pravoúhlých maticích, u kterých se počet řádků nemusí nutně rovnat počtu sloupců. Nechť je tedy dána matice (A_), tzn. matice obsahující m řádků a n sloupců.
matice (A_) je determinant, jehož prvky jsou umístěny v průsečíku k řádků a k sloupců matice (A) (předpokládá se, že (k≤ m) a (k≤ n)).
Zvažte například tuto matici:
[A=left( začít -1 & 0 & -3 & 9 2 & 7 & 14 & 6 15 & -27 & 18 & 31 0 & 1 & 19 & 8 0 & -12 & 20 & 14 5 & 3 & -21 & 9 23 & -10 & -5 & 58 konec že jo) ]
Napišme k tomu nějaký vedlejší třetí řád. Abychom mohli napsat moll třetího řádu, musíme vybrat libovolné tři řádky a tři sloupce této matice. Například vezměte řádky č. 2, č. 4, č. 6 a sloupce č. 1, č. 2, č. 4. Na průsečíku těchto řádků a sloupců budou umístěny prvky požadované vedlejší položky. Na obrázku jsou vedlejší prvky zobrazeny modře:
Nezletilí prvního řádu se nacházejí na průsečíku jednoho řádku a jednoho sloupce, tzn. minority prvního řádu se rovnají prvkům dané matice.
Vedlejší prvek k-tého řádu matice (A_=(a_)) se nazývá, pokud na hlavní diagonále této vedlejší matice jsou pouze hlavní diagonální prvky matice (A).
Dovolte mi připomenout, že prvky matice, jejichž indexy jsou stejné, se nazývají: (a_), (a_), (a_) a tak dále. Například pro matici (A) uvažovanou výše budou takové prvky (a_=-1), (a_=7), (a_=18), (a_=8). Na obrázku jsou zvýrazněny zeleně:
[vlevo( začít tučnězelená & 0 & -3 & 9 2 & tučně zelená & 14 & 6 15 & -27 & tučně zelená & 31 0 & 1 & 19 & tučně zelená 0 & -12 & 20 & 14 5 & 3 & -21 & 9 23 & -10 & -5 & 58 konec že jo) ]
Pokud například v matici (A) přeškrtneme řádky a sloupce očíslované 1 a 3, pak v jejich průsečíku budou prvky moll druhého řádu, na jejíž hlavní diagonále budou pouze diagonální prvky matice (A) (matice prvků (a_=-1) a (a_=18) (A)). Dostaneme tedy hlavní moll druhého řádu:
[ M=left|začít tučně zelený & -315 & tučně zelený konec vpravo| ]
Přirozeně bychom mohli vzít jiné řádky a sloupce, například s čísly 2 a 4, čímž bychom získali jinou hlavní moll druhého řádu.
Nechť nějaký moll (M) k-tého řádu matice (A_) není roven nule, tzn. (Mneq 0). V tomto případě jsou všichni nezletilí, jejichž řád je vyšší než k, roven nule. Potom se nazývá moll (M) a řádky a sloupce, na kterých jsou umístěny prvky základního mollového, se nazývají a .
Zvažte například následující matici:
[A=left( začít -1 & 0 & 3 & 0 & 0 2 & 0 & 4 & 1 & 0 1 & 0 & -2 & -1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 konec že jo) ]
Zapišme si moll této matice, jejíž prvky se nacházejí na průsečíku řádků č. 1, č. 2, č. 3 a sloupců č. 1, č. 3, č. 4. Dostaneme moll třetího řádu (jeho prvky jsou v matici (A) zvýrazněny fialově):
Hodnotu této moll najdeme pomocí vzorce č. 2 z tématu Výpočet determinantů druhého a třetího řádu:
[M=vlevo| začít -1 & 3 & 0 2 & 4 & 1 1 & -2 & -1 konec right|=4+3+6-2=11. ]
Takže (M=llneq 11). Nyní zkusme sestavit libovolný moll, jehož pořadí je vyšší než tři. Abychom vytvořili moll čtvrtého řádu, musíme použít čtvrtý řádek, ale všechny prvky tohoto řádku jsou nulové. Proto bude mít každý moll čtvrtého řádu nulový řádek, což znamená, že všechny nezletilé čtvrtého řádu se rovnají nule. Nemůžeme vytvářet minory pátých a vyšších řádů, protože matice (A) má pouze 0 řádky.
Našli jsme moll třetího řádu, který se nerovná nule. V tomto případě jsou všechny nezletilé vyšších řádů rovny nule, proto je nezletilý, který jsme uvažovali, základní. Řádky matice (A), na kterých jsou umístěny prvky této vedlejší (první, druhý a třetí), jsou základními řádky a první, třetí a čtvrtý sloupec matice (A) jsou základními sloupci.
Tento příklad je samozřejmě triviální, protože jeho účelem je jasně ukázat podstatu základní moll. Obecně může existovat několik základních nezletilých a obvykle je proces hledání takového nezletilého mnohem složitější a rozsáhlejší.
Představme si další pojem – hraniční moll.
Nechť určitý k-tý řád menší (M) matice (A_) leží v průsečíku k řádků a k sloupců. K množině těchto řádků a sloupců přidáme další řádek a sloupec. Výsledná moll (k+1) řádu se nazývá moll (M).
Podívejme se například na následující matici:
[A=left( začít -1 & 2 & 0 & -2 & -14 3 & -17 & -3 & 19 & 29 5 & -6 & 8 & -9 & 41 -5 & 11 & 19 & -20 & -98 6 & 12 & 20 & 21 & 54 -7 & 10 & 14 & -36 & 79 konec že jo) ]
Napišme moll 2. řádu, jehož prvky se nacházejí na průsečíku řad č. 5 a č. 2 a také sloupců č. 4 a č. XNUMX. Tyto prvky jsou v matici zvýrazněny červeně:
K množině řádků, na kterých leží prvky vedlejší (M), přidáme další řádek č. 1 a k množině sloupců sloupec č. 5. Získáme novou moll (M’) (již třetího řádu), jejíž prvky se nacházejí na průsečíku řad č. 1, č. 2, č. 5 a sloupců č. 2, č. 4, č. 5. Prvky moll (M) na obrázku jsou zvýrazněny červeně a prvky, které přidáme k mollovi (M), jsou zvýrazněny modře:
Minor (M’) je hraniční moll pro moll (M). Podobně přidáním řádku č. 4 k množině řádků, na kterých leží prvky moll (M) a sloupce č. 3 k množině sloupců, získáme vedlejší (M) (moll třetího řádu):
Minor (M”) je také hraniční moll pro moll (M).
Minor k-tého řádu matice (A_). Další vedlejší. Algebraický doplněk k moll čtvercové matice.
Vraťme se znovu ke čtvercovým maticím. Představme si pojem doplňkové nezletilé.
Nechť je dán určitý moll (M) k-tého řádu matice (A_). Determinant (n-k)-tého řádu, jehož prvky jsou získány z matice (A) po smazání řádků a sloupců obsahujících minoritní položku (M), se nazývá vedlejší (M).
Uvažujme například čtvercovou matici pátého řádu:
[ A=left(začátek -1 & 2 & 0 & -2 & -14 3 & -17 & -3 & 19 & 29 5 & -6 & 8 & -9 & 41 -5 & 11 & 16 & -20 & -98 -7 & 10 & 14 & -36 & 79 konec že jo) ]
Vyberme řádky č. 1 a č. 3 a také sloupce č. 2 a č. 5. Na průsečíku těchto řádků a sloupců budou vedlejší prvky (M) druhého řádu. Tyto prvky jsou v matici (A) zvýrazněny zeleně:
Nyní odejmeme z matice (A) řádky č. 1 a č. 3 a sloupce č. 2 a č. 5, na jejichž průsečíku jsou prvky vedlejší (M) (prvky odebraných řádků a sloupců jsou na obrázku níže zobrazeny červeně). Zbývající prvky tvoří moll (M):
Vedlejší moll (M’), jehož pořadí je (5-2=3), je komplementární moll k moll (M).
(M) čtvercové matice (A_) se nazývá výraz ((-1)^cdot M’), kde (alfa) je součet čísel řádků a sloupců matice (A), na které jsou prvky matice moll (M) jsou umístěny a (M’) – moll, komplementární k moll (M).
Fráze „algebraický doplněk k moll (M)“ je často nahrazena frází „algebraický doplněk k moll (M)“.
Uvažujme například matici (A), pro kterou jsme našli moll druhého řádu ( M=left| začátek 2 & -14 -6 & 41 konec pravý| ) a další moll třetího řádu: (M’= vlevo| začátek 3 & -3 & 19 -5 & 16 & -20 -7 & 14 & -36 konec vpravo|). Označme algebraický doplněk moll (M) jako (M^*). Pak podle definice:
Parametr (alfa) je roven součtu počtu řádků a sloupců, na kterých se nachází vedlejší (M). Tato vedlejší se nachází na průsečíku řad č. 1, č. 3 a sloupců č. 2, č. 5. Proto (alfa=1+3+2+5=11). Tak:
[ M^*=(-1)^cdot M’=-left| začátek 11 & -3 & 3 -19 & 5 & -16 -20 & 7 & -14 konec vpravo|. ]
V zásadě pomocí vzorce č. 2 z tématu Výpočet determinantů druhého a třetího řádu můžete dokončit výpočty a získat hodnotu (M^*):
[ M^*=-vlevo| začít 3 & -3 & 19 -5 & 16 & -20 -7 & 14 & -36 konec vpravo|=-30. ]
Návrat na seznam témat
Zeptejte se na fóru
Přihlaste se na kurzy
Všimli jste si chyby, překlepu nebo byl vzorec zobrazen nesprávně? Napište prosím do tohoto vlákna na fóru.
Pokud máte nějaké návrhy, zpětnou vazbu nebo připomínky týkající se zveřejněných materiálů, můžete o nich napsat v tomto tématu. Není nutná žádná registrace.
